Multiplicación de matrices.

El producto de dos matrices \(A\) y \(B\) denotado como \(AB\) está definido si y solo si el número de columnas de \(A\) es igual al número de filas de \(B,\) esto es, si \(A\) es una matriz de orden \(m\times n\) y \(B\) es otra matriz de orden n\times p el producto \(AB=R\) está definido y \(R\) es de orden \(m\times p.\)

Nota: Para el producto de matrices no se debe escribir \(A\times B\) ni \(A \cdot B\), debido a que estas notaciones representan operaciones vectoriales a estudiar más adelante.

Producto de una matriz fila y una matriz columna.
Sea \(A\) una matriz fila y \(B\) una matriz columna tal que el producto AB está definido, entonces el producto \(AB=R\) es como sigue. $$\left(\begin{matrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u_{11}\\\vdots\\u_{m1}\\\end{matrix}\right)=a_{11}u_{11}+a_{12}u_{21}+a_{13}u_{31}+\ldots+a_{1n}u_{m1}$$ Ejemplo. Dadas las matrices, $$A=\left(\begin{matrix}300&400&250\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ C=\left(\begin{matrix}300\\350\\400\\\end{matrix}\right)$$ las cuales representan la producción y costo de una de la línea uno del taller de T-shirt "Aurora" del inicio de la sección, determinar el costo total.
Solución: el costo total está dado por el producto \(AC\). Como \(A\) es de orden \(1\times3\) y \(C\) es de orden \(3\times1,\) el producto \(AC\) es de orden \(1\times1.\) \begin{align}AC&=\left(\begin{matrix}300&400&250\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\350\\400\\\end{matrix}\right)\\ AC&=300\left(300\right)+400\left(350\right)+250\left(400\right)\\ AC&=330\ 000\end{align} Ejemplo. Matrices complejas Determinar el producto \(AB\) si, $$A=\left(\begin{matrix}1&2i&3i^2\\\end{matrix}\right)\ \ y\ \ B=\left(\begin{matrix}2\\2i\\3i^2\\\end{matrix}\right)$$ Solución: el producto \(AB\) está definido y es de orden \(1\times1.\) \begin{align} AB&=\left(\begin{matrix}1&2i&3i^2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2i\\3i^2\\\end{matrix}\right)=1\left(2\right)+2i\left(2i\right)+3i^2\left(3i^2\right)\\ AB&=2-4+9=7\end{align} Producto de matrices multifilas y multicolumnas.
Sean \(A\) y \(B\) dos matrices con múltiples filas y columnas tal que el producto \(AB\) está definido, esto es, el número de columnas de la matriz \(A\) es igual al número de filas de la matriz B y puede ser escrito en la forma, $$\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\cdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\u_{21}&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\cdots&\ddots&\vdots\\u_{m1}&u_{m2}&\cdots&u_{mn}\\\end{matrix}\right]$$$$=\left[\begin{matrix}r_{11}&r_{12}&\cdots&r_{1n}\\r_{21}&r_{22}&\cdots&r_{2n}\\\vdots&\cdots&\ddots&\vdots\\r_{m1}&r_{m2}&\cdots&r_{mn}\\\end{matrix}\right]$$ entonces los productos \(r_{ij}\) se obtienen al multiplicar la iésima fila de \(A\) con la jotaésima columna de \(B,\) siguiendo la regla del producto de una matriz fila por una matriz columna, como se muestra a continuación.
\(r_{11}=\) primera fila de \(A\) por primera columna de \(B.\)
\(r_{12}=\) primera fila de \(A\) por segunda columna de \(B.\)
\(r_{13}=\) primera fila de \(A\) por tercera columna de \(B.\)
\(~~~~~~~~~~~~\vdots\)
\(r_{1n}=\) primera fila de \(A\) por la columna \(n\) de \(B.\)
\(r_{21}=\) segunda fila de \(A\) por primera columna de \(B.\)
\(r_{22}=\) segunda fila de \(A\) por segunda columna de \(B.\)
\(~~~~~~~~~~~~\vdots\)
\(r_{2n}=\) segunda fila de \(A\) por la columna \(n\) de \(B.\)
\(~~~~~~~~~~~~\vdots\)
\(r_{mn}=\) fila \(m\) de \(A\) por columna \(n\) de \(B.\)

Ejemplo: Determinar el producto \(AB\) y \(BA\) de las matrices: $$A=\left(\begin{matrix}1&3&2\\2&5&2\\0&2&1\\\end{matrix}\right);\ \ B=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&2\\\end{matrix}\\\begin{matrix}3&4\\\end{matrix}\\\begin{matrix}5&6\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)$$ Solución producto \(AB:\) \(A\) es de orden \(3\times3\) y \(B\) es \(3\times2\) por tanto el producto \(AB=R\) está definido y es de orden \(3\times2\). $$\left(\begin{matrix}1&3&2\\2&5&2\\0&2&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&2\\\end{matrix}\\\begin{matrix}3&4\\\end{matrix}\\\begin{matrix}5&6\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\r_{31}&r_{32}\\\end{matrix}\right)$$ \begin{align} &r_{11}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\\5\\\end{matrix}\right)=1\left(1\right)+3\left(3\right)+2\left(5\right)=20\\ &r_{12}=\left(\begin{matrix}1&3&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\\6\\\end{matrix}\right)=1\left(2\right)+3\left(4\right)+2\left(6\right)=26\\ &r_{21}=\left(\begin{matrix}2&5&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\\5\\\end{matrix}\right)=2\left(1\right)+5\left(3\right)+2\left(5\right)=27\\ &r_{22}=\left(\begin{matrix}2&5&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\\6\\\end{matrix}\right)=2\left(2\right)+5\left(4\right)+2\left(6\right)=36\\ &r_{31}=\left(\begin{matrix}0&2&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\\5\\\end{matrix}\right)=0\left(1\right)+2\left(3\right)+1\left(5\right)=11\\ &r_{32}=\left(\begin{matrix}0&2&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\\6\\\end{matrix}\right)=0\left(2\right)+2\left(4\right)+1\left(6\right)=14\end{align} Sustituyendo ahora los \(r_{ij}\) por su valor se concluye que, $$\left(\begin{matrix}1&3&2\\2&5&2\\0&2&1\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\begin{matrix}1&2\\\end{matrix}\\\begin{matrix}3&4\\\end{matrix}\\\begin{matrix}5&6\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\begin{matrix}20&26\\\end{matrix}\\\begin{matrix}27&36\\\end{matrix}\\\begin{matrix}11&14\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)$$

De manera natural se puede extender la definición de producto de matrices a tres o más matrices y se cumplen las propiedades, asociativa, distributiva, elemento neutro (matriz unidad del orden dado), elemento absorbente (matriz nula del orden dado) y no siempre se cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo 2. Prueba de la propiedad de elemento neutro. Determinar el producto de las matrices, $$A=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ y\ \ \ B=\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$$ Solución: como las matrices son cuadradas del mismo orden, el producto \(AB\) está definido y el resultado \(R\) es del mismo orden de las matrices. \begin{align} &\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\\end{matrix}\right)\\ &r_{11}=\left(\begin{matrix}a&b\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right)=a\left(1\right)+b\left(0\right)=a\\ &r_{12}=(\begin{matrix}a&b\\\end{matrix})\left(\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right)=a\left(0\right)+b\left(1\right)=b\\ &r_{21}=\left(\begin{matrix}c&d\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\0\\\end{matrix}\right)=c\left(1\right)+d\left(0\right)=c\\ &r_{22}=(\begin{matrix}c&d\\\end{matrix})\left(\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}\right)=c\left(0\right)+d\left(1\right)=d\end{align} de donde se concluye que, $$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\\\end{matrix}\right)$$ Con lo cual queda demostrada la propiedad de elemento neutro del producto de matrices para el orden \(2\times2.\)

De igual manera se puede extender este resultado a cualquier orden si se desea, ya que la propiedad se cumple para cualquier orden. La demostración de las propiedades de asociativa, elemento absorbente y el cumplimiento o no de la propiedad conmutativa se dejan como ejercicios al lector.

Además, es claro que puede realizar la multiplicación de matrices sin escribir todos los pasos como se ha hecho en este ejemplo, esto depende de las destrezas de la persona que intenta dar con la solución. Tenga cuidada si decide trabajar saltándose pasos.

Ejemplo. Un producto de dos matrices no nulas que igual a cero. Determinar el producto de las matrices, $$A=\left(\begin{matrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ B=\left(\begin{matrix}-2&\ \ \ 1\\\ \ \ 4&-2\\-2&\ \ \ \ 1\\\end{matrix}\right)$$ Solución: como \(A\) es de orden \(3\times3\) y \(B\) es \(3\times2,~ R\) es de orden \(3\times2\) y por tanto la matriz de resultado tiene la forma, \begin{align} R&=\left(\begin{matrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\r_{31}&r_{32}\\\end{matrix}\right)\\ r_{11}&=\left(\begin{matrix}1&2&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\\ \ \ 4\\-2\\\end{matrix}\right)=1(-2)+2(4)+3(-2)=0\\ r_{12}&=\left(\begin{matrix}1&2&3\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\ \ \ \ 1\\-2\\\ \ \ 1\\\end{matrix}\right)=1(1)+2(-2)+3(1)=0\\ r_{21}&=\left(\begin{matrix}4&5&6\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\\ \ \ 4\\-2\\\end{matrix}\right)=4(-2)+5(4)+6(-2)=0\\ r_{22}&=\left(\begin{matrix}4&5&6\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\ \ \ \ 1\\-2\\ \ \ \ 1\\\end{matrix}\right)=4(1)+5(-2)+6(1)=0\\ r_{31}&=\left(\begin{matrix}7&8&9\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\ \ \ \ 1\\-2\\ 1\\\end{matrix}\right)=7(1)+8(-2)+9(1)=0\\ r_{32}&=\left(\begin{matrix}7&8&9\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\\ \ \ 4\\-2\\\end{matrix}\right)=7(-2)+8(4)+9(-2)=0\\ &{\rm de \ donde} \ R=\left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)\end{align}

Como puede notar al multiplicar matrices es posible que el resultado sea cero (la matriz cero del orden correspondiente) aun sin que una de las matrices sea nula. Más adelante se verá que “si el producto de dos matrices no nulas es cero, una de ella deberá ser un matriz singular”. El concepto de matriz singular se discute al estudiar determinantes más adelante.

Potencia de una matriz.
Si \(A\) es una matriz cuadrada se pueden definir potencias de \(A\) tal que \( A^n=AAA\cdots A\) (\(A\) multiplicada \(n\) veces)

Ejemplo. Matrices de Pauli. Las matrices de Pauli constituyen un conjunto de tres matrices, nombradas en honor a Wolfgang Ernst Pauli usadas en el campo de la mecánica cuántica no relativista dentro el contexto del momento angular de spin de un electrón, estas se definen como sigue, $$S_x=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_y=\ \frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S_z=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)$$ donde \(\hbar\) es una constante llamada constante de Planck. Demostrar que las matrices de Pauli satisfacen la condición, $$S_x^2=S_y^2=S_z^2=\frac{1}{4}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)$$ Solución: aplicando \(A^2=AA\) y las reglas del producto de matrices. \begin{align} S_x^2&=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}\right)=\frac{1}{4}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\\ S_y^2&=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}\right)\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}0&-i\\i&0\\\end{matrix}\right)=\frac{1}{4}\hbar\left(\begin{matrix}-i(i)&0\\0&i(-i)\\\end{matrix}\right)=\frac{1}{4}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\\ S_z^2&=\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)\frac{1}{2}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}\right)=\frac{1}{4}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1(-1)\\\end{matrix}\right)=\frac{1}{4}\hbar\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\end{align}

Transpuesta de un producto.
Si \(A\) y \(B\) son dos matrices tales que el producto \(AB\) está definido, entonces,\((AB)^T=B^TA^T\)
Demostración: Sean \(A\) y \(B\) dos matrices tales que, $$A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ B=\left(\begin{matrix}u_{11}&u_{12}\\u_{21}&u_{22}\\u_{31}&u_{32}\\\end{matrix}\right)$$ note que el producto \(AB\) está definido y es, \begin{align} &AB=\left(\begin{matrix}a_{11}u_{11}+a_{12}u_{21}+a_{13}u_{31}&a_{11}u_{12}+a_{12}u_{22}+a_{13}u_{32}\\a_{21}u_{11}+a_{22}u_{21}+a_{23}u_{31}&a_{21}u_{12}+a_{22}u_{22}+a_{23}u_{32}\\\end{matrix}\right)\\ &(AB)^T=\left(\begin{matrix}a_{11}u_{11}+a_{12}u_{21}+a_{13}u_{31}&a_{21}u_{11}+a_{22}u_{21}+a_{23}u_{31}\\a_{11}u_{12}+a_{12}u_{22}+a_{13}u_{32}&a_{21}u_{12}+a_{22}u_{22}+a_{23}u_{32}\\\end{matrix}\right)\end{align} Haciendo ahora el producto de las transpuesta, \begin{align} &B^TA^T=\left(\begin{matrix}u_{11}&u_{21}&u_{31}\\u_{12}&u_{22}&u_{32}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\\a_{13}&a_{23}\\\end{matrix}\right)\\ &B^TA^T=\left(\begin{matrix}a_{11}u_{11}+a_{12}u_{21}+a_{13}u_{31}&a_{21}u_{11}+a_{22}u_{21}+a_{23}u_{31}\\a_{11}u_{12}+a_{12}u_{22}+a_{13}u_{32}&a_{21}u_{12}+a_{22}u_{22}+a_{23}u_{32}\\\end{matrix}\right)\end{align} Con lo cual queda demostrado que \((AB)^T=B^TA^T.\)

Esta propiedad puede ser extendida de manera análoga al producto de varias matrices en la forma, \((ABC...)^T=C^T...B^TA^T\)\)

Ejemplo. Transpuesta de un producto. Dadas las matrices, $$A=\left(\begin{matrix}1&0&5\\2&3&-2\\\end{matrix}\right)\ \ {\rm y} \ \ B=\left(\begin{matrix}1&2\\0&1\\2&2\\\end{matrix}\right)$$ Determinar el producto \((AB)^T\)
Solución: aplicando \((AB)^T=B^TA^T\) se tiene, \begin{align}\left(\begin{matrix}1&0&2\\2&1&2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1&2\\0&3\\5&-2\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1+0+10&2+0-4\\2+0+10&4+3-4\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11&-2\\12&3\\\end{matrix}\right)\end{align}

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Traza de una matriz cuadrada.

Dada una matriz cuadrada \(A\) se denomina traza de la matriz, denotada por \({\rm Tr}A\) al número único que resulta de la suma de los elementos de su diagonal principal, esto es, dada $$A=\left[\begin{matrix}u_{11}&u_{12}&\cdots&u_{1n}\\u_{21}&u_{22}&\cdots&u_{2n}\\\vdots&\cdots&\ddots&\vdots\\u_{m1}&u_{m2}&\cdots&u_{mn}\\\end{matrix}\right]$$ entonces $${\rm Tr}A= u_{11}+u_{22}+u_{22}+\cdots+u_{nn}$$ La traza de matrices tiene las propiedades de:
1. Linealidad \({\rm Tr}\left(A\pm B\right)={\rm Tr}A\pm {\rm Tr}B\)
2. Invariante con el orden de un producto. \({\rm Tr}(AB)={\rm Tr}(BA)\) siempre que los productos estén definidos, y este resultado aplica para el producto de tres o más matrices.
3. \({\rm Tr}A={\rm Tr}A^T\) es invariante con la transposición de matrices.
4. \({\rm Tr}A^\dagger={\rm Tr}A^\ast\) la traza de la conjugada hermitiana es igual a la traza de la compleja conjugada.

Ejemplo. Determinar las trazas de cada una de las matrices dadas, $$A=\left(\begin{matrix}7&5\\3&2\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ B=\left(\begin{matrix}3&5&7\\9&11&13\\17&19&23\\\end{matrix}\right)\ \ \ C=\left(\begin{matrix}2i&0&2&i\\2&5&2&9\\4&11&3i&7\\7&0&-2&-7\\\end{matrix}\right)$$ Solución: \begin{align} &{\rm Tr}A=7+2=9\\ &{\rm Tr}B=3+11+23=37\\ &{\rm Tr}C=2i+5+3i-7=-2+5i\end{align} Observación importante.
Si \(A\) y \(B\) son dos matrices del mimo orden tales que \({\rm Tr}(A)={\rm Tr}(B)\) entonces no necesariamente \(A=B,\) en cambio si \(A=B\) entonces \({\rm Tr}(A)={\rm Tr}(B).\)

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